J'imagine qu'au long de votre scolarité, on vous a toujours dit "Il est interdit formellement interdit de diviser par zéro !". Et comme d'autres choses, vous avez avalé ça, sans vous poser plus de questions. Pourtant, c'est assez embêtant ! Quand on fait du calcul algébrique, il faut toujours faire attention, quand on veut diviser par un machin ou simplifier par un truc, si on n'est pas en train de diviser par zéro sans s'en rendre compte. Comme dans cette énigme, par exemple : "1 = 2 ?".

Mais au juste ! Pourquoi est-ce que c'est interdit ? Au fond, qu'est-ce qui nous en empêche ? Bon sang de bois ! C'est quoi encore cette interdiction ? Une convention à la noix ? Une lubie de mathématicien ? Un axiome ? Nenni ! Nenni ! Il y a une réelle explication tout à fait sérieuse et rationnelle. La voici...

Tout d'abord il me faut vous avouer quelque chose. Une terrible vérité. Il n'y a non pas 4 opérations arithmétiques élémentaires (addition, soustraction, multiplication et division) mais uniquement deux ! Oui je sais... c'est difficile à encaisser, mais ce n'est que la plus stricte vérité. En fait, la soustraction est une addition maquillée et il en est de même pour la division, qui n'est rien d'autre qu'une multiplication déguisée.

Plus précisément, la soustraction est une opération qui consiste à ajouter l'opposé d'un nombre. La division est une opération qui consiste à multiplier par l'inverse d'un nombre. Focalisons-nous sur la division.

D'après ce qui précède, diviser un nombre a par un autre nombre b, revient en fait à multiplier a par l'inverse de b. Mais l'inverse de b, c'est quoi ? L'inverse de b est un nombre b' tel que b x b' = 1. Le chiffre "1" est un nombre particulier : c'est le neutre de la multiplication. On l'appelle comme ça car quand on multiplie n'importe quoi par 1, c'est comme si on ne faisait aucune opération puisque a x 1 = a, quel que soit le nombre a.

Revenons à nos moutons. On a vu que diviser a par b est équivalent à multiplier a par l'inverse de b. D'après ce qui précède, cela revient à multiplier par b', le nombre tel que b x b' = 1. Par conséquent, diviser a par 0 est équivalent à multiplier a par l'inverse de 0.Tout est là ! Il s'agit maintenant de trouver l'inverse de 0, c'est à dire un nombre c tel que 0 x c = 1. Mais le problème, c'est que le nombre "0" est aussi un nombre particulier, on dit qu'il est absorbant. Cela signifie qu'on peut le multiplier par n'importe quoi, on obtient toujours zéro !La conséquence de ça, c'est qu'il n'existe pas de nombre c tel que 0 x c = 1.

Donc zéro n'a pas d'inverse. Par conséquent on ne peut pas multiplier par l'inverse de zéro. Voilà pourquoi on ne peut pas diviser par zéro.

Il existe d'autres explications, mais celle-ci est la démonstration la plus rigoureuse. La raison fondamentale qui fait qu'on ne puisse pas diviser par zéro est celle-ci : zéro n'est pas inversible.La morale de cette histoire est qu'il y a toujours une raison aux choses en maths. S'il y a une "interdiction" quelquepart, c'est sûrement qu'il y a une bonne raison.